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时间复杂度 ​

运行时间可以直观且准确地反映算法的效率。如果我们想准确预估一段代码的运行时间，应该如何操作呢？

  1. 确定运行平台，包括硬件配置、编程语言、系统环境等，这些因素都会影响代码的运行效率。
  2. 评估各种计算操作所需的运行时间，例如加法操作 + 需要 1 ns ，乘法操作 * 需要 10 ns ，打印操作 print() 需要 5 ns 等。
  3. 统计代码中所有的计算操作，并将所有操作的执行时间求和，从而得到运行时间。 例如在以下代码中，输入数据大小为n:
java
// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
    int a = 2;  // 1 ns
    a = a + 1;  // 1 ns
    a = a * 2;  // 10 ns
    // 循环 n 次
    for (int i = 0; i < n; i++) {  // 1 ns
        System.out.println(0);     // 5 ns
    }
}

根据以上方法，可以得到算法的运行时间为(6n+12)ns ：

1+1+10+(1+5)*n = 6n+12

但实际上，统计算法的运行时间既不合理也不现实。首先，我们不希望将预估时间和运行平台绑定，因为算法需要在各种不同的平台上运行。其次，我们很难获知每种操作的运行时间，这给预估过程带来了极大的难度。

01 统计时间增长趋势 ​

时间复杂度分析统计的不是算法运行时间，而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势。 “时间增长趋势”这个概念比较抽象，我们通过一个例子来加以理解。假设输入数据大小为n ，给定三个算法 A、B 和 C ：

java
// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
void algorithm_A(int n) {
    System.out.println(0);
}
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
void algorithm_B(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        System.out.println(0);
    }
}
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
void algorithm_C(int n) {
    for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
        System.out.println(0);
    }
}

图 2-7 展示了以上三个算法函数的时间复杂度。

  • 算法 A 只有1个打印操作，算法运行时间不随着n增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为“常数阶”。
  • 算法 B 中的打印操作需要循环n次，算法运行时间随着n增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为“线性阶”。
  • 算法 C 中的打印操作需要循环1000000次，虽然运行时间很长，但它与输入数据大小n无关。因此 C 的时间复杂度和 A 相同，仍为“常数阶”。
图 2-7 算法 A、B 和 C 的时间增长趋

相较于直接统计算法的运行时间，时间复杂度分析有哪些特点呢？

  • 时间复杂度能够有效评估算法效率。 例如，算法 B 的运行时间呈线性增长，在n>1时比算法 A 更慢，在n>1000000时比算法 C 更慢。事实上，只要输入数据大小n足够大，复杂度为“常数阶”的算法一定优于“线性阶”的算法，这正是时间增长趋势的含义。
  • 时间复杂度的推算方法更简便。 显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因此在时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将“计算操作运行时间统计”简化为“计算操作数量统计”，这样一来估算难度就大大降低了。
  • 时间复杂度也存在一定的局限性。 例如，尽管算法 A 和 C 的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很大。同样，尽管算法 B 的时间复杂度比 C 高，但在输入数据大小n较小时，算法 B 明显优于算法 C 。对于此类情况，我们时常难以仅凭时间复杂度判断算法效率的高低。当然，尽管存在上述问题，复杂度分析仍然是评判算法效率最有效且常用的方法。

02 函数渐近上界 ​

给定一个输入大小为n的函数：

java
void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +1
    a = a + 1;  // +1
    a = a * 2;  // +1
    // 循环 n 次
    for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每轮都执行 i ++）
        System.out.println(0);    // +1
    }
}

设算法的操作数量是一个关于输入数据大小n的函数，记为T(n)，则以上函数的操作数量为：

T(n) = 3+2n

T(n)是一次函数，说明其运行时间的增长趋势是线性的，因此它的时间复杂度是线性阶。 我们将线性阶的时间复杂度记为O(n)，这个数学符号称为大O记号（big-O-notation），表示函数T(n)的渐近上界（asymptotic upper bound）。 时间复杂度分析本质上是计算“操作数量T(n)”的渐近上界，它具有明确的数学定义。

函数渐近上界

若存在正实数c和实数n0，使得对于所有的n>n0，均有T(n)≤c*f(n)，则可认为f(n)给出了T(n)的一个渐近上界，记为T(n) = O(f(n))。

如图 2-8 所示，计算渐近上界就是寻找一个函数f(n)，使得当n趋向于无穷大时，T(n)和f(n) 处于相同的增长级别，仅相差一个常数项c的倍数。

图 2-8 函数的渐近上界

03 推算方法 ​

渐近上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，也无须担心。我们可以先掌握推算方法，在不断的实践中，就可以逐渐领悟其数学意义。 根据定义，确定f(n)之后，我们便可得到时间复杂度O(f(n))。那么如何确定渐近上界f(n)呢？总体分为两步：首先统计操作数量，然后判断渐近上界。

01 第一步：统计操作数量 ​

针对代码，逐行从上到下计算即可。然而，由于上述c*f(n)中的常数项 c可以取任意大小，因此操作数量T(n)中的各种系数、常数项都可以忽略。根据此原则，可以总结出以下计数简化技巧。

  1. 忽略T(n)中的常数项。因为它们都与n无关，所以对时间复杂度不产生影响。
  2. 省略所有系数。例如，循环2n次、5n+1次等，都可以简化记为n次，因为n前面的系数对时间复杂度没有影响。
  3. 循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用第 1. 点和第 2. 点的技巧。

给定一个函数，我们可以用上述技巧来统计操作数量：

java
void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +0（技巧 1）
    a = a + n;  // +0（技巧 1）
    // +n（技巧 2）
    for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
        System.out.println(0);
    }
    // +n*n（技巧 3）
    for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
        for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
            System.out.println(0);
        }
    }
}

02 第二步：判断渐近上界 ​

时间复杂度由T(n)中最高阶的项来决定。这是因为在n趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以忽略。

表 2-2 展示了一些例子，其中一些夸张的值是为了强调“系数无法撼动阶数”这一结论。当n趋于无穷大时，这些常数变得无足轻重。

04 常见类型 ​

设输入数据大小为n ，常见的时间复杂度类型如图 2-9 所示（按照从低到高的顺序排列）。

01 常数阶 O(1) ​

常数阶的操作数量与输入数据大小n无关，即不随着n的变化而变化。 在以下函数中，尽管操作数量 size 可能很大，但由于其与输入数据大小n无关，因此时间复杂度仍为O(1)：

java
/* 常数阶 */
int constant(int n) {
    int count = 0;
    int size = 100000;
    for (int i = 0; i < size; i++)
        count++;
    return count;
}

02 线性阶 O(n) ​

线性阶的操作数量相对于输入数据大小n以线性级别增长。线性阶通常出现在单层循环中：

java
/* 线性阶 */
int linear(int n) {
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
        count++;
    return count;
}

遍历数组和遍历链表等操作的时间复杂度均为O(n)，其中n为数组或链表的长度：

java
/* 线性阶（遍历数组） */
int arrayTraversal(int[] nums) {
    int count = 0;
    // 循环次数与数组长度成正比
    for (int num : nums) {
        count++;
    }
    return count;
}

值得注意的是，输入数据大小n需根据输入数据的类型来具体确定。比如在第一个示例中，变量n为输入数据大小；在第二个示例中，数组长度n为数据大小。

03 平方阶 O(n^2) ​

平方阶的操作数量相对于输入数据大小n以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环的时间复杂度都为O(n)，因此总体的时间复杂度为O(n^2)：

java
/* 平方阶 */
int quadratic(int n) {
    int count = 0;
    // 循环次数与数据大小 n 成平方关系
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            count++;
        }
    }
    return count;
}

下图对比了常数阶、线性阶和平方阶三种时间复杂度。

以冒泡排序为例，外层循环执行n-1次，内层循环执行n-1、 n-2、...、2、 1次，平均为n/2次，因此时间复杂度为O(n^2)。
java
/* 平方阶（冒泡排序） */
int bubbleSort(int[] nums) {
    int count = 0; // 计数器
    // 外循环：未排序区间为 [0, i]
    for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
        // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                int tmp = nums[j];
                nums[j] = nums[j + 1];
                nums[j + 1] = tmp;
                count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
            }
        }
    }
    return count;
}

04 指数阶 O(2^n) ​

生物学的“细胞分裂”是指数阶增长的典型例子：初始状态为1个细胞，分裂一轮后变为2个，分裂两轮后变为4个，以此类推，分裂n轮后有2^n个细胞。 图 2-11 和以下代码模拟了细胞分裂的过程，时间复杂度为O(2^n)：

java
/* 指数阶（循环实现） */
int exponential(int n) {
    int count = 0, base = 1;
    // 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < base; j++) {
            count++;
        }
        base *= 2;
    }
    // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
    return count;
}

在实际算法中，指数阶常出现于递归函数中。例如在以下代码中，其递归地一分为二，经过n次分裂后停止：

java
/* 指数阶（递归实现） */
int expRecur(int n) {
    if (n == 1)
        return 1;
    return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}

指数阶增长非常迅速，在穷举法（暴力搜索、回溯等）中比较常见。对于数据规模较大的问题，指数阶是不可接受的，通常需要使用动态规划或贪心算法等来解决。

05 对数阶 O(log n) ​

与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半”的情况。设输入数据大小为n，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是log2^n，即2^n的反函数。 图 2-12 和以下代码模拟了“每轮缩减到一半”的过程，时间复杂度为 O(log 2^n)，简记为 O(log n)：

java
/* 对数阶（循环实现） */
int logarithmic(int n) {
    int count = 0;
    while (n > 1) {
        n = n / 2;
        count++;
    }
    return count;
}

与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数中。以下代码形成了一棵高度为log 2^n的递归树：

java
/* 对数阶（递归实现） */
int logRecur(int n) {
    if (n <= 1)
        return 0;
    return logRecur(n / 2) + 1;
}

对数阶常出现于基于分治策略的算法中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。它增长缓慢，是仅次于常数阶的理想的时间复杂度。

O(log n)的底数到底是多少

06 线性对数阶 O(n log n) ​

线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为O(n)和O(log n)，因此总体的时间复杂度为O(n log n)。相关代码如下：

java
/* 线性对数阶 */
int linearLogRecur(int n) {
    if (n <= 1)
        return 1;
    int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        count++;
    }
    return count;
}

图 2-13 展示了线性对数阶的生成方式。二叉树的每一层的操作总数都为n，树共有log2^n + 1层，因此时间复杂度为O(n log n)。 主流排序算法的时间复杂度通常为O(n log n)，例如快速排序、归并排序、堆排序等。

07 阶乘阶 O(n!) ​

阶乘阶对应数学上的“全排列”问题。给定n个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，方案数量为： 阶乘通常使用递归实现。如图 2-14 和以下代码所示，第一层分裂出n个，第二层分裂出n-1个，以此类推，直至第n层时停止分裂：

java
/* 阶乘阶（递归实现） */
int factorialRecur(int n) {
    if (n == 0)
        return 1;
    int count = 0;
    // 从 1 个分裂出 n 个
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        count += factorialRecur(n - 1);
    }
    return count;
}

请注意，因为当n≥4时恒有n! ＞ 2^n，所以阶乘阶比指数阶增长得更快，在n较大时也是不可接受的。

05 最差、最佳、平均时间复杂度 ​

算法的时间效率往往不是固定的，而是与输入数据的分布有关。假设输入一个长度为n的数组 nums ，其中 nums 由从1至n的数字组成，每个数字只出现一次； 但元素顺序是随机打乱的，任务目标是返回元素1的索引。我们可以得出以下结论。

  • 当 nums = [?, ?, ..., 1] ，即当末尾元素是1时，需要完整遍历数组，达到最差时间复杂度O(n)。
  • 当 nums = [1, ?, ?, ...] ，即当首个元素为1时，无论数组多长都不需要继续遍历，达到最佳时间复杂度Ω(1)。

“最差时间复杂度”对应函数渐近上界，使用大O记号表示。相应地，“最佳时间复杂度”对应函数渐近下界，用Ω记号表示：

java
/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
int[] randomNumbers(int n) {
    Integer[] nums = new Integer[n];
    // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = i + 1;
    }
    // 随机打乱数组元素
    Collections.shuffle(Arrays.asList(nums));
    // Integer[] -> int[]
    int[] res = new int[n];
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        res[i] = nums[i];
    }
    return res;
}

/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
int findOne(int[] nums) {
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
        // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
        if (nums[i] == 1)
            return i;
    }
    return -1;
}

值得说明的是，我们在实际中很少使用最佳时间复杂度，因为通常只有在很小概率下才能达到，可能会带来一定的误导性。 而最差时间复杂度更为实用，因为它给出了一个效率安全值，让我们可以放心地使用算法。

从上述示例可以看出，最差时间复杂度和最佳时间复杂度只出现于“特殊的数据分布”，这些情况的出现概率可能很小，并不能真实地反映算法运行效率。 相比之下，平均时间复杂度可以体现算法在随机输入数据下的运行效率，用θ记号来表示。

对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。 比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素1出现在任意索引的概率都是相等的， 那么算法的平均循环次数就是数组长度的一半n/2，平均时间复杂度为θ(n/2) = θ(n)。

但对于较为复杂的算法，计算平均时间复杂度往往比较困难，因为很难分析出在数据分布下的整体数学期望。 在这种情况下，我们通常使用最差时间复杂度作为算法效率的评判标准。

为什么很少看到θ符号？

可能由于O符号过于朗朗上口，因此我们常常使用它来表示平均时间复杂度。但从严格意义上讲，这种做法并不规范。在本书和其他资料中，若遇到类似“平均时间复杂度 ”的表述，请将其直接理解为 。

希腊字母表：

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